Question

在△ABC中，sinA=4cosB•cosC，且tanB•tanC=3，
（1）求角A的余弦值；
（2）若角A所对的边a长为4，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）在△ABC中，由条件利用两角和的正弦公式、同角三角函数的基本关系求得tanB+tanC=4，再由 tanB•tanC=3，可得 tan（B+C）的值，从而求得tanA，进而求得sinA和
cosA的值．
（2）若角A所对的边a长为4，不妨设B＞C，则tanB＞tanC，tanB+tanC=4、tanB•tanC=3，可得tanB=3，tanC=1，从而求得sinB 和 sinC的值，再利用正弦定理求得
b、c的值，即可求得△ABC的面积

1

2

•bc•sinA 的值．

解答：解：（1）在△ABC中，sinA=4cosB•cosC，故 sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=4cosBcosC，
两边同除cosBcosC可得  tanB+tanC=4．
再由 tanB•tanC=3，可得 tan（B+C）=

tanB+tanC

1-tanBtanC

=-2，故 tanA=

sinA

cosA

=2，故A为锐角．
再由 sin²A+cos²A=1，可得sinA=

2 5

5

，cosA=

5

5

．
（2）若角A所对的边a长为4，不妨设B＞C，则由（1）中 tanB+tanC=4、tanB•tanC=3，可得tanB=3，tanC=1，
故sinB=

3 10

10

，sinC=

2

2

．
由正弦定理可得

4

5 5

=

b

3 10 10

=

c

2 2

，由此求得 b=6

2

，c=2

10

，故△ABC的面积为

1

2

•bc•sinA=12．

点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式、正切公式、正弦定理及诱导公式的应用，已知三角函数值求角的大小，属于中档题．