Question

已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意实数（x₁，y₂）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，则称集合M是“垂直对点集”，给出下列六个集合：
①M={（x，y）|y=-

1

x

}
②M={（x，y）|y=x²-1}
③M={（x，y）|y=e^x-2}
④M={（x，y）|y=cosx}
⑤={（x，y）|y=2+sinx}
⑥M={（x，y）|y=lnx}，
其中是“垂直对点集”的序号是

 

（写出所有是“垂直对点集”的序号）．

Answer 1

分析：对于①，利用x₁•x₂+

1

x1•x2

=0无实数解，判断其正误即可．
对于③，画出函数y=e^x-2图象，利用图象说明函数满足“垂直对点集”的定义，即可判断正误；
对于④，画出函数y=cosx图象，利用图象说明函数满足“垂直对点集”的定义，即可判断正误；
对于⑥，取一个特殊点（1，0）说明不满足“垂直对点集”定义．

解答：解：对于①，注意到x₁•x₂+

1

x1•x2

∈（-∞，-2]∪[2，+∞），故x₁•x₂+

1

x1•x2

=0，即x₁x₂+y₁y₂=0无实数解，因此①不是“垂直对点集”； 
对于②，如下图，注意到过原点任意作一条直线与曲线y=x²-1相交，过原点与该直线垂直的直线必与曲线y=x²-1相交，因此②是“垂直对点集”；

对于③，如下图，注意到过原点任意作一条直线与曲线y=e^x-2相交，过原点与该直线垂直的直线必与曲线y=e^x-2相交，因此③是“垂直对点集”；

对于④，如下图，注意到过原点任意作一条直线与曲线y=cosx相交，过原点与该直线垂直的直线必与曲线y=cosx相交，因此④是“垂直对点集”；

对于⑤，注意到对于点（0，2）不存在（x₂，y₂）∈M，使得0×x₂+2×2+sinx₂=0，因为sinx₂=-2与正弦函数的值域为[-1，1]，因此⑤不是“垂直对点集”．
对于⑥，注意到对于点（1，0），不存在（x₂，y₂）∈M，使得1×x₂+0×lnx₂=0，因为x₂=0与真数的限制条件x₂＞0矛盾，因此⑥不是“垂直对点集”．
故答案为：②③④

点评：点评：本题考查了命题真假的判断与应用，考查了元素与集合的关系，考查了数形结合的思想，解答的关键是对新定义的理解，是中档题．