Question

（2013•唐山一模）△ABC中，角A、B、C所对的边a，b，c成等差数列，且最大角是最小角的2倍，则 cosA+cosC=

7

8

．

Answer 1

分析：由题意可得 2b=a+c，设C为最大角，则A为最小角，可得C=2A，且 0＜A＜

π

3

．再由正弦定理可得2sin3A=sinA+sin2A，
化简可得 2cosA=5-8sin²A=5-8（1-cos²A ），解得cosA 的值，即可得到cosA+cosC的值．

解答：解：△ABC中，角A、B、C所对的边a，b，c成等差数列，∴2b=a+c．
设C为最大角，则A为最小角，再由最大角是最小角的2倍，可得C=2A，且 0＜A＜

π

3

．
再由正弦定理可得 2sinB=sinA+sin2A，∴2sin（π-3A）=sinA+sin2A，即2sin3A=sinA+sin2A，
2（3sinA-4sin³A）=sinA+2sinAcosA，化简可得 2cosA=5-8sin²A=5-8（1-cos²A ），
解得cosA=

3

4

，cosA=-

1

2

（舍去）．
则 cosA+cosC=cosA+cos2A=cosA+2cos²A-1=

3

4

+2×

9

16

-1=

7

8

，
故答案为

7

8

．

点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，正弦定理、倍角公式的应用，属于中档题．