Question

已知函数f（x）=+lnx（x＞0）．
（1）当a=1时，求f（x）在[，2]上的最小值；
（2）若函数f（x）在[，+∞）上为增函数，求正实数a的取值范围；
（3）若关于x的方程1-x+2xlnx-2mx=0在区间[，e]内恰有两个相异的实根，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）当a=1时，可求得f（x）、f′（x），由f′（x）=0，得x=1，求出函数的极值、端点处函数值，然后进行比较即可；
（2）利用导数求出f（x）的增区间，由题意可知[，+∞）为增区间的子集，由此可得a的范围；
（3）方程可变为，则问题等价于函数的图象与函数y=m的图象在区间[，e]内恰有两个交点．利用导数研究函数g（x）的性质、极值、端点处函数值，画出草图，借助图象可得m的范围；
解答：解：（1）当a=1时，f（x）=，，
令f′（x）=0，得x=1，
于是，当＜x＜1时，f′（x）＜0，当1＜x＜2时，f′（x）＞0，
所以当x=1时f（x）取得极小值，且f（1）=0，
又f（）=1-ln2，f（2）=ln2-，
所以当x=1时函数f（x）取得最小值0．
（2），
因为a为正实数，由定义域知x＞0，
所以函数的单调递增区间为，
又函数f（x）在上为增函数，所以，
所以a≥2；
（3）方程1-x+x2lnx-2mx=0在区间[，e]内恰有两个相异的实数根，
推得方程在区间[，e]内恰有两个相异的实数根，即方程在区间[，e]内恰有两个相异的实数根，
则函数的图象与函数y=m的图象在区间[，e]内恰有两个交点．
考察函数，，则g（x）在区间为减函数，在为增函数，
则有：，
，
g（）=+ln=-1=＜0＜g（e），
画函数，x∈[，e]的草图，要使函数的图象与函数y=m的图象在区间[，e]内恰有两个交点，
则要满足，
所以m的取值范围为{m|}．
点评：本题考查利用导数研究函数的最值、函数的单调性及函数的零点问题，考查函数思想、数形结合思想、转化思想．