Question

如图，AB是圆O的直径，CD⊥AB于D，且AD=2BD，E为AD的中点，连接CE并延长交圆O于F．若CD=

2

，则AB=

 

，EF=

 

．

Answer 1

分析：AB是圆O的直径，可得∠ACB=90°．利用射影定理可得CD²=AD•DB．已知AD=2DB，CD=

2

，可得DB=1，AB=AD+DB=3．已知E为AD的中点，可得ED=1．在Rt△CDE中，利用勾股定理可得CE=

CD2+DE2

=

3

．利用相交弦定理可得：EA•EB=EC•EF，即可求得EF．

解答：解：∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°．
∴CD²=AD•DB．
∵AD=2DB，∴CD²=2DB²，
∵CD=

2

，∴DB=1，
∴AB=AD+DB=3．
∵E为AD的中点，∴ED=1．
在Rt△CDE中，CE=

CD2+DE2

=

3

．
由相交弦定理可得：EA•EB=EC•EF，
∴1×2=

3

EF，
∴EF=

2 3

3

．
故答案分别为3，

2 3

3

．

点评：熟练掌握圆的性质、射影定理、勾股定理、相交弦定理是解题的关键．