Question

已知函数f(x)=

1+x

1-x

e-ax，若对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1，求a的取值范围．

Answer 1

分析：确定函数的定义域，求导函数，确定函数的单调性，分类讨论，即可得到结论．

解答：解：函数的定义域为（∞，1）∪（1，+∞）
求导函数可得f′(x)=

ax2+2-a

(1-x)2

e-ax
当0＜a≤2时，f′（x）＞0，函数在（∞，1）和（1，+∞）上为增函数，对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞f（0）=1；
当a＞2时，函数在（∞，-

a-2 a

），（

a-2 a

，1）和（1，+∞）上为增函数，在（-

a-2 a

，

a-2 a

）上为减函数，取x₀=

1

2

a-2 a

∈（0，1），则f（x₀）＜f（0）=1；
当a≤0时，对任意x∈（0，1）恒有

1+x

1-x

＞1且e^-ax≥1，∴f(x)=

1+x

1-x

e-ax≥

1+x

1-x

＞1
综上，当且仅当a∈（-∞，2）时，对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，综合性强，属于中档题．