Question

已知函数f（x）=

3

sinxcosx+cos²x．
（1）写出函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
（2）若函数f（x）的图象关于直线x=x₀对称，且0＜x₀＜1，求x₀的值．

Answer 1

分析：（1）先根据二倍角和两角和公式对函数解析式化简，根据T=

2π

2

求得函数的最小正周期，进而根据正弦函数的单调性求得函数f（x）的单调增区间．
（2）先根据函数f（x）的图象关于直线x=x₀对称，可推断出2x₀+

π

6

=kπ+

π

2

，进而求得x₀的集合，进而根据x₀的范围求得x₀的值．

解答：解：（1）f（x）=

3

sinxcosx+cos²x
=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

1

2

=sin(2x+

π

6

)+

1

2

，
∴T=

2π

2

=π．
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），
得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

（k∈Z）．
∴y的单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）．
（2）∵f（x）的图象关于直线x=x₀对称，
∴2x₀+

π

6

=kπ+

π

2

，x₀=

kπ

2

+

π

6

（k∈Z）．
∵0＜x₀＜1，∴x₀=

π

6

．

点评：本题主要考查了正弦函数的单调性，两角和公式，二倍角公式的运用．解题的关键是熟练掌握三角函数基础知识．