Question

【题目】已知函数．

（1）当时，求函数的单调递减区间；

（2）当时，设函数.若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）当时，的单调递减区间为，，当时，的单调递减区间为，当时，的单调递减区间为，；（2）.

【解析】

试题分析：（1）根据导数对进行分类讨论，得到不同情况下的单调递减区间；（2）将函数在区间上存在零点转化为方程在区间上有实数根，再利用函数的导数的性质求得函数在区间上的极值，从而得到取值范围.

试题解析： 的定义域为，

.………………1分

①当时，，由，

得或.

当，时，单调递减.

的单调递减区间为，.………………2分

②当时，恒有，

的单调递减区间为.………………3分

③当时，.由，得或.

当，时，单调递减.

的单调递减区间为，.………………4分

综上，当时，的单调递减区间为，；

当时，的单调递减区间为；

当时，的单调递减区间为，.………………5分

（2）在上有零点，

即关于的方程在上有两个不相等的实数根.

令函数，，………………6分

则.

令函数，.

则在上有.

故在上单调递增.

，………………8分

∴当时，有即.

∴单调递减；

当时，有即，

单调递增.………………10分

，，

.

∴的取值范围为.………………12分