Question

（2013•安徽）如图，互不相同的点A₁，A₂，…，A_n，…和B₁，B₂，…，B_n，…分别在角O的两条边上，所有A_nB_n相互平行，且所有梯形A_nB_nB_n+1A_n+1的面积均相等，设OA_n=a_n，若a₁=1，a₂=2，则数列{a_n}的通项公式是

an=

3n-2

．

Answer 1

分析：设S△OA1B1=S，利用已知可得A₁B₁是三角形OA₂B₂的中位线，得到

S△OA1B1

S△OA2B2

=(

1

2

)2=

1

4

，梯形A₁B₁B₂A₂的面积=3S．由已知可得梯形A_nB_nB_n+1A_n+1的面积=3S．利用相似三角形的性质面积的比等于相似比的平方可得：

a 2 2

a 2 1

=

4S

S

=

4

1

，

a 2 3

a 2 2

=

7S

4S

=

7

4

，

a 2 4

a 2 3

=

10

7

，…，已知

a

2 1

=1，

a

2 2

=4，可得

a

2 3

=7，…．因此数列{

a

2 n

}是一个首项为1，公差为3等差数列，即可得到a_n．

解答：解：设S△OA1B1=S，∵OA₁=a₁=1，OA₂=a₂=2，A₁B₁∥A₂B₂，
∴A₁B₁是三角形OA₂B₂的中位线，∴

S△OA1B1

S△OA2B2

=(

1

2

)2=

1

4

，∴梯形A₁B₁B₂A₂的面积=3S．
故梯形A_nB_nB_n+1A_n+1的面积=3S．
∵所有A_nB_n相互平行，∴所有△OA_nB_n（n∈N^*）都相似，∴

a 2 2

a 2 1

=

4S

S

=

4

1

，

a 2 3

a 2 2

=

7S

4S

=

7

4

，

a 2 4

a 2 3

=

10

7

，…，
∵

a

2 1

=1，∴

a

2 2

=4，

a

2 3

=7，…．
∴数列{

a

2 n

}是一个等差数列，其公差d=3，故

a

2 n

=1+（n-1）×3=3n-2．
∴an=

3n-2

．
因此数列{a_n}的通项公式是an=

3n-2

．
故答案为an=

3n-2

．

点评：本题综合考查了三角形的中位线定理、相似三角形的性质、等差数列的通项公式等基础知识和基本技能，考查了推理能力和计算能力．