题目内容

(1)证明:平面PAB与平面PCD的交线平行于底面;
(2)求cos∠COD.
分析:(1)利用线面平行的判定与性质,可证平面PAB与平面PCD的交线平行于底面;
(2)先作出OP与平面PCD所成的角,再求出OC,OF,求出cos∠COF,利用二倍角公式,即可求得cos∠COD.
(2)先作出OP与平面PCD所成的角,再求出OC,OF,求出cos∠COF,利用二倍角公式,即可求得cos∠COD.
解答:(1)证明:设平面PAB与平面PCD的交线为l,则
∵AB∥CD,AB?平面PCD,∴AB∥平面PCD
∵AB?面PAB,平面PAB与平面PCD的交线为l,∴AB∥l
∵AB在底面上,l在底面外
∴l与底面平行;
(2)解:设CD的中点为F,连接OF,PF
由圆的性质,∠COD=2∠COF,OF⊥CD
∵OP⊥底面,CD?底面,∴OP⊥CD
∵OP∩OF=O
∴CD⊥平面OPF
∵CD?平面PCD
∴平面OPF⊥平面PCD
∴直线OP在平面PCD上的射影为直线PF
∴∠OPF为OP与平面PCD所成的角
由题设,∠OPF=60°
设OP=h,则OF=OPtan∠OPF=
h
∵∠OCP=22.5°,∴OC=
=
∵tan45°=
=1
∴tan22.5°=
-1
∴OC=
=(
+1)h
在Rt△OCF中,cos∠COF=
=
=
-
∴cos∠COD=cos(2∠COF)=2cos2∠COF-1=17-12
∵AB∥CD,AB?平面PCD,∴AB∥平面PCD
∵AB?面PAB,平面PAB与平面PCD的交线为l,∴AB∥l
∵AB在底面上,l在底面外
∴l与底面平行;
(2)解:设CD的中点为F,连接OF,PF

由圆的性质,∠COD=2∠COF,OF⊥CD
∵OP⊥底面,CD?底面,∴OP⊥CD
∵OP∩OF=O
∴CD⊥平面OPF
∵CD?平面PCD
∴平面OPF⊥平面PCD
∴直线OP在平面PCD上的射影为直线PF
∴∠OPF为OP与平面PCD所成的角
由题设,∠OPF=60°
设OP=h,则OF=OPtan∠OPF=
3 |
∵∠OCP=22.5°,∴OC=
OP |
tan∠OCP |
h |
tan22.5° |
∵tan45°=
2tan22.5° |
1-tan222.5° |
∴tan22.5°=
2 |
∴OC=
h | ||
|
2 |
在Rt△OCF中,cos∠COF=
OF |
OC |
| ||
(
|
6 |
3 |
∴cos∠COD=cos(2∠COF)=2cos2∠COF-1=17-12
2 |
点评:本题考查线面平行的判定与性质,考查空间角,考查学生的计算能力,正确找出线面角是关键.

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