Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都相等，且D，E，F分别为BC，BB₁，AA₁的中点，
（Ⅰ）求证：平面B₁FC∥平面EAD；
（Ⅱ）求证：BC₁⊥平面EAD。

Answer 1

证明：(Ⅰ)由已知可得，
∴四边形是平行四边形，
∴，
平面，平面，
∴AE∥平面；
又D，E分别是BC，BB₁的中点，
∴，
平面，平面，
∴DE∥平面；
平面EAD，平面EAD，
∴平面∥平面EAD。
(Ⅱ) ∵三棱柱是直三棱柱，
∴面ABC，
又∵面ABC，
∴AD， 
又∵直三棱柱的所有棱长都相等，D是BC边中点，
∴△ABC是正三角形，∴BC⊥AD，
而，面，面，
∴AD⊥面，
故，
∵四边形是菱形，∴，
而，故，
由AD∩DE=D，面EAD，面EAD，
得面EAD。