题目内容

设函数f（x）=xsinx（x∈R）．
（1）证明：f（x+2kπ）-f（x）=2kπsinx，k∈Z；
（2）设x₀为f（x）的一个极值点，证明[f(x0)]2=

x

40

1+

x

20

．

（1）f（x+2kπ）-f（x）
=（x+2kπ）Sin（x+2kπ）-xSinx
=（x+2kπ）Sinx-xSinx
=xSinx+2kπSinx-xSinx
=2kπSinx…（6分）
（2）由f'（x）=sinx+xcosx，
得：f'（x₀）=sinx₀+x₀cosx₀=0…（8分）
又sin²x₀+cos²x₀=1联立，
得：Sin2x0=

x

20

1+

x

20

…（12分）
∴[f（x₀）]²=x₀²Sin²x₀=

x

20

×

x

20

1+

x

20

=

x

40

1+

x

20

…（14分）

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