题目内容

已知x∈R,且f(x+1)= -f(x),则f(x+2)=-f(x+1)=-［-f(x)］=f(x),得f(x)的一个周期为2，类比上述结论，请写出下列两个函数的一个周期：?

（1）已知a为正常数，x∈R，且f(x+a)=-f(x),则f(x)的一个周期为      ；?

（2）已知a为正常数，x∈R，且f(x+a)=,则f(x)的一个周期为      .?

2a;4a  


解析:

（1）问，较容易猜出T=2a.第（2）问可以先建立三角模型：cot(x+)=,把cotx看作f(x)的一个原型，题中a相当于,由于f(x)=cotx的周期为T=π=4·,故可猜出4a为f(x)的一个周期，从而可转化求证f(x+4a)=f(x),验证方法：可先从f(x+2a)入手证得f(x+2a)=-,所以f(x+4a)=f［(x+2a)+2a］=-=f(x).

练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=ax2+4ax+b-1（a≠0且a，b∈R），不等式|f（x）|≤|2x2+8x-10|恒成立．
（Ⅰ）求证：-5和1是函数f（x）的两个零点；并求实数a，b满足的关系式；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[a，2]（a＜2）上的最小值g（a）；
（Ⅲ）令F（x）=
f(x)， x＞0
-f(x)  x＜0
，若mn＜0，m+n＞0，试确定F（m）+F（n）的符号，并说明理由．

已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b为实数)，x∈R，F(x)＝

(1)若不等式f(x)＞4的解集为{x|x＜－3或x＞1}，求F(x)的表达式；

(2)在(1)的条件下，当x∈[－1，1]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围；

(3)设m·n＜0，m＋n＞0，a＞0且f(x)为偶函数，判断F(m)＋F(n)能否大于零？
已知x∈R，函数f（x）=ax3+bx2+cx+d在x=0处取得极值，曲线y=f（x）过原点O（0，0）和点P（-1，2）．若曲线y=f（x）在点P处的切线l与直线y=2x的夹角为45°，且直线l的倾斜角θ∈（，π），
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数y=f（x）在区间[2m-1，m+1]上是增函数，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）若x1、x2∈[-1，1]，求证：f（x1）-f（x2）≤4．
已知x∈R，函数f（x）=ax3+bx2+cx+d在x=0处取得极值，曲线y=f（x）过原点O（0，0）和点P（-1，2）．若曲线y=f（x）在点P处的切线l与直线y=2x的夹角为45°，且直线l的倾斜角θ∈（，π），
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数y=f（x）在区间[2m-1，m+1]上是增函数，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）若x1、x2∈[-1，1]，求证：f（x1）-f（x2）≤4．

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