Question

已知函数f（x）= ，h（x）= ．
（Ⅰ）设函数F（x）=f（x）-h（x），求F（x）的单调区间与极值；
（Ⅱ）设a∈R，解关于x的方程㏒₄[ ]=㏒₂h（a-x）-㏒₂h（4-x）；
（Ⅲ）试比较f（100）h（100）- 与的大小．

Answer 1

（Ⅰ）由F（x）=f（x）-h（x）= 2 3 x+ 1 2 - x （x≥0）知， F'（x）= 4 x -3 6 x ，令F'（x）=0，得x= 9 16 ． 当x∈（0， 9 16 ）时，F'（x）＜0；当x∈（ 9 16 ，=∞）时，F'（x）＞0． 故x∈（0， 9 16 ）时，F（x）是减函数； 故F（x）x∈（ 9 16 ，+∞）时，F（x）是增函数． F（x）在x= 9 16 处有极小值且F（ 9 16 ）= 1 8 ． （Ⅱ）原方程可化为log4（x-1）+log2 h（4-x）=log2h（a-x）， 即 1 2 log2（x-1）+log2 4-x =log2 a-x ， x-1＞0 4-x＞0 a-x＞0 (x-1)(4-x)=a-x 1＜x＜4 x＜a a=-(x-3)2+5 ①当1＜a≤4时，原方程有一解x=3- 5-a ； ②当4＜a＜5时，原方程有两解x=3± 5-a ； ③当a=5时，原方程有一解x=3； ④当a≤1或a＞5时，原方程无解．  （Ⅲ）设数列 {an}的前n项和为sn，且sn=f（n）g（n）- 1 6 从而有a1=s1=1． 当2＜k≤100时，ak=sk-sk-1= 4k+3 6 k - 4k-1 6 k-1 ，ak- k = 1 6 [（4k-3） k -（4k-1） k-1 ]= 1 6 (4k-3) 2 k-(4k-1)2 (k-1) (4k-3) k +(4k-1) k-1 = 1 6 1 (4k-3) k +(4k-1) k-1 ＞0． 即对任意的2＜k≤100，都有ak＞ k ． 又因为a1=s1=1， 所以a1+a2+a3+…+a100＞ 1 + 2 + 3 +…+ 100 =h（1）+h（2）+…+h（100） 故f（100）h（100）-