Question

如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是PC，PA的中点，且PA=AB=2AD．
（I）求二面角P-AB-M的余弦值大小；
（Ⅱ）在线段AD上是否存在一点G，使GM⊥平面PBC？若不存在，说明理由；若存在，确定点c的位置．

Answer 1

分析：（I）设PA=AB=2AD=2，以AD为x轴，以AB为y轴，以AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P-AB-M的余弦值．
（Ⅱ）假设线段AD上是存在一点G（x₀，0，0），使GM⊥平面PBC，则

GM

=（

1

2

-x0，1，1），

PB

=(0，2，-2)，

PC

=(1，2，-2)，由GM⊥平面PBC，知

GM

•

PB

=0，

GM

•

PC

=0，由此能推导出线段AD的中点G，使GM⊥平面PBC．

解答：解：（I）设PA=AB=2AD=2，
以AD为x轴，以AB为y轴，以AP为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），P（0，0，2），B（0，2，0），C（1，2，0），
∴M（

1

2

，1，1），

AM

=(

1

2

，1，1)，

AB

=（0，2，0），
设平面ABM的法向量

n

=（x，y，z），则

n

•

AM

=0，

n

•

AB

=0，
∴

1 2 x+y+z=0 2y=0

，∴

n

=（2，0，-1），
∵平面APB的法向量

m

=（1，0，0），
∴二面角P-AB-M的余弦值cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

2

2× 5

|=

5

5

．
（Ⅱ）假设线段AD上是存在一点G（x₀，0，0），使GM⊥平面PBC，
则

GM

=（

1

2

-x0，1，1），

PB

=(0，2，-2)，

PC

=(1，2，-2)，
∵GM⊥平面PBC，∴

GM

•

PB

=0，

GM

•

PC

=0，
∴

2-2=0 1 2 -x0+2-2=0

，
∴x0=

1

2

，
∴G（1，0，0），
∴线段AD的中点G，使GM⊥平面PBC．

点评：本题考查平面的二面角的余弦值的求法，考查满足条件的点的存在性的探索．解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．