Question

如图，在三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，AB⊥侧面BB₁C₁C，已知BB₁=2，

AB=

   （I）求证：C₁B⊥平面ABC；

   （II）试在棱CC₁（不包含端点C，C₁）上确定一点E的位置，使得EA⊥EB₁；

   （III）在（II）的条件下，求二面角E―AB₁―B的大小。

Answer 1

解：（I）因为AB⊥侧面BB₁C₁C，故AB⊥BC₁

在△BC₁C中，BC=1，CC₁=BB₁=2，由余弦定理有

故有BC²+BC²₁=CC²₁    ∴C₁B⊥BC                                              

而BC∩AB=B且AB，BC平面ABC

∴C₁B⊥平面ABC                                                                          

   （II）由EA⊥EB₁，AB⊥EB₁，AB∩AE=A，AB，AE平面ABE

从而B₁E⊥平面ABF  且BE平面ABE  故BE⊥B₁E                    

不妨设

从而（舍）                               

故E为CC₁的中点时，EA⊥EB₁                                                     

   （III）∵AB⊥平面BCC₁B₁  ∴平面ABB₁A₁⊥平面BCC₁B₁

又平面ABB₁A₁∩平面BCC₁B₁=BB₁

作EM⊥BB₁于M，则EM⊥平面ABB₁A₁，作MN⊥AB₁于N，连EN，则EN⊥AB₁

∴∠ENM为二面角E―AB₁―B的平面角。

过B作BF∥ME于F，

∵∠BCE=

∵△B₁BA∽△B₁NM