Question

在一次研究性学习中，老师给出函数f（x）=（x∈R），三位同学甲、乙、丙在研究此函数时给出命题：甲：函数f（x）的值域为[-1，1]；
乙：若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂）；
丙：若规定f₁（x）=f（x），f_n（x）=f（f_n-1（x）），则f_n（x）=对任意n∈N^*恒成立．
你认为上述三个命题中不正确的个数有（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

Answer 1

【答案】分析：由f（x）的解析式可知，当x＞0时f（x）=，y≠1．当x≤0时f（x）=，y≠-1．又因为它在每一段上都单调，所以甲错，乙对，通过递推关系可知丙对，从而获解，对丙：由f₁（x）=f（x），f_n（x）=f（f_n-1（x））．可以用不完全归纳法归纳即可判断丙正确．
解答：解：由f（x）的解析式可知，当x＞0时f（x）=，y≠1．当x≤0时f（x）=，y≠-1．并且该函数在每一分段上单调，所以，可推知甲同学错误，乙同学正确．
又有f₁（x）=f（x），f_n（x）=f（f_n-1（x））；推知法f₂（x）==，…f_n（x）=，故丙正确
故选B．
点评：本题考查分段函数的性质，要注意结合函数值域求法及单调性判断方法对甲乙取舍，至于丙的说法用不完全归纳法归纳即可作出判断．