Question

12．实数一元二次方程x²+ax+2b=0有两个根，一个根在区间（0，1）内，另一个根在区间（1，2）内，求（a-1）²+（b-2）²的取值范围．

Answer 1

分析 本题目考察二次函数两根的分布与系数的关系，但题目要求（a-1）²+（b-2）²的取值范围，须转化为线性规划问题来求解，可通过作图来解决此类问题．

解答 ∵方程x²+ax+2b=0的一个根在区间（0，1）内，另一个根在区间（1，2）内，
∴可得 f（0）＞0，
 f（1）＜0，
 f（2）＞0；
即b＞0，
a+2b+1＜0，
a+b+2＞0；
作出满足上述不等式组对应的点（a，b）所在的平面区域，
其中A（-3，1），B（-2，0），C（-1，0）．

设点E（a，b）为区域内的任意一点，
可得|DE|²=（a-1）²+（b-2）²，表示区域内的点E与点D之间距离的平方，
运动点E，可得当E在C点时满足|DE|²=（-1-1）²+（0-2）²=8，
在当E在A点满足|DE|²=（-3-1）²+（1-2）²=17．
由此可得（a-1）²+（b-2）²的取值范围为（8，17）．

点评 本题目将二次方程两根的分布问题同线性规划问题结合起来考察学生，题目难度有所增加，可根据方程系数之间的关系做出可行域，然后解出问题的答案．