Question

已知函数.
（1）若在上的最大值为，求实数的值；
（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；
（3）在（1）的条件下，设，对任意给定的正实数，曲线 上是否存在两点、，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？请说明理由。

Answer 1

（1）（2）（3）对任意给定的正实数，曲线 上总存在两点，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上

试题分析：（1）由，得，
令，得或．
列表如下：

			0
			0		0
			极小值		极大值

∵，，，
即最大值为，．                  4分
（2）由，得．
，且等号不能同时取，，
恒成立，即．
令，求导得，，
当时，，从而，
在上为增函数，，．            8分
（3）由条件，，
假设曲线上存在两点满足题意，则只能在轴两侧，
不妨设，则，且．
是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，
， ，              10分
是否存在等价于方程在且时是否有解．
①若时，方程为，化简得，
此方程无解；                            11分
②若时，方程为，即，
设，则，
显然，当时，，即在上为增函数，
的值域为，即，
当时，方程总有解．
对任意给定的正实数，曲线 上总存在两点，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上．      14分
点评：求函数最值通过函数导数求得极值，比较极值与闭区间的边界值的大小得最值，不等式恒成立中求参数范围的题目常采用分离参数法转化为求函数最值的问题