Question

已知直线L与抛物线C：x²=4y相切于点P（2，1），且与x轴交于点A，O为坐标原点，定点B（2，0）
（1）求点A的横坐标．
（2）设动点M满足，点M的轨迹K．若过点B的直线L₁（斜率不等于0）与轨迹K交于不同的两点E、F（E在B、F之间），试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由x²=4y得y=x²，用导数法求得直线l的斜率，再求得其方程，令y=0得点A坐标；
（2）设M（x，y由=0得得+y²=1．知轨迹K是椭圆，设
由两个三角形同底，则，即为两个三角形面积之比，只要求得λ即可．
解答：解：（1）由x²=4y得y=x²，y′=x．
∴直线l的斜率为y′|x=2=1．
故l的方程为y=x-1，
∴点A坐标为（1，0）．（4分）

（2）设M（x，y），则=（1，0），=（x-2，y），=（x-1，y），
由=0得（x-2）+y•0+=0，
整理，得+y²=1．轨迹K是椭圆．（9分）
设
从而得
因为E、F都在椭圆上，所以满足椭圆方程：

消去y₂，并整理得①（11分）
由题意，设过点B的直线方程：x=ty+2，
当直线与椭圆相切时，
即（4t）²-4•（t²+2）•2=0⇒t²=2，取得切点（1，）
所以知
联系①式知，
即△OBE与△OBF面积之比的取值范围是．（15分）
点评：本题主要考查导数法求曲线的切线，和用向量法研究直线与曲线的位置关系．