题目内容

抛物线C的方程为y=ax2(a＜0)，过抛物线C上一点P(x0，y0)(x0≠0)作斜率为k1，k2的两条直线分别交抛物线C于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点(P、A、B三点互不相同)，且满足k2+λk1=0(λ≠0且λ≠-1).

(Ⅰ)求抛物线C的焦点坐标和准线方程；

(Ⅱ)设直线AB上一点M，满足=λ，证明线段PM的中点在y轴上.

解：(Ⅰ)由抛物线C的方程y= ax2 (a＜0)得，

焦点坐标为(0，)，准线方程为y=.

(Ⅱ)证明：设直线PA的方程为y- y0= k1 (x- x0)，

直线PB的方程为y- y0=k2(x- x0)．

点P(x0，y0)和点A(x1，y1)的坐标是方程组

的解．

将②式代入①式得ax2- k1x+ k1x0-y0=0，

于是x1+ x0=，故x1=-x0③

又点P(x0，y0)和点B(x2，y2)的坐标是方程组

的解．

将⑤式代入④式得ax2-k2x+k2x0- y0=0．

于是x2+x0=，故x2=-x0．

由已知得，k2=-λk1,则x2=k1- x0.⑥

设点M的坐标为(xM，yM)，由，则xM=．

将③式和⑥式代入上式得xM==-x0，即xM+ x0=0.

∴线段PM的中点在y轴上．

练习册系列答案
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抛物线C的方程为y=ax2（a＜0），过抛物线C上一点P（x0，y0）（x0≠0）作斜率为k1，k2的两条直线分别交抛物线C于A（x1，y1）B（x2，y2）两点（P，A，B三点互不相同），且满足k2+λk1=0（λ≠0且λ≠-1）．
（Ⅰ）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；
（Ⅱ）设直线AB上一点M，满足
BM
=λ
MA
，证明线段PM的中点在y轴上；
（Ⅲ）当λ=1时，若点P的坐标为（1，-1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标y1的取值范围．
抛物线C的方程为y=ax2（a＜0），过抛物线C上一点P（x0，y0）（x0≠0）作斜率为k1，k2的两条直线分别交抛物线C于
A（x1，y1）B（x2，y2）两点（P，A，B三点互不相同），且满足k2+λk1=0（λ≠0且λ≠-1）．
（Ⅰ）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；
（Ⅱ）设直线AB上一点M，满足
BM
=λ
MA
，证明线段PM的中点在y轴上．
抛物线C的方程为y=ax2（a＜0），过抛物线C上一点P（x0，y0）（x0≠0）作斜率为k1、k2的两条直线分别交抛物线C于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点（P、A、B三点互不相同），且满足k2+λk1=0（λ≠0且λ≠-1），
（1）设直线AB上一点M，满足
BM
=λ
MA
，证明线段PM的中点在y轴上；
（2）当λ=1时，若点P的坐标为（1，-1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标y1的取值范围．
已知抛物线C的方程为y=x2，过（0，1）点的直线l与C相交于点A，B，证明：OA⊥OB（O为坐标原点）
过曲线上一点与以此点为切点的切线垂直的直线，叫做曲线在该点的法线．
已知抛物线C的方程为y=ax2（a＞0，x≠0）．点M（x0，y0）是C上任意点，过点M作C的切线l，法线m．
（I）求法线m与抛物线C的另一个交点N的横坐标xN取值范围；
（II）设点F是抛物线的焦点，连接FM，过点M作平行于y轴的直线n，设m与x轴的交点为S，n与x轴的交点为K，设l与x轴的交点为T，求证∠SMK=∠FMN

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