Question

已知等差数列{ a_n}的前n项和为S_n，公差d≠0，S₅=4a₃+5，且a₁、a₂、a₅成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）当n≥2，n∈N^*时，求

n

i=2

1

Sn-1

．

Answer 1

分析：（I）根据等差数列的通项公式和题中的关系，建立首项a₁与公差d的方程组，解之得a₁=1，d=2，即可得到数列{a_n}的通项公式；
（II）由等差数列求和公式，得S_n=n²，从而得到

1

Sn-1

=

1

n2-1

．因为

1

n2-1

=

1

2

（

1

n-1

-

1

n+1

），利用裂项相消的方法，可得

n

i=2

1

Sn-1

═

3

4

-

2n+1

2n(n+1)

．

解答：解：（Ⅰ）∵S₅=4a₃+5，
∴5a₁+

5×4

2

d=4（a₁+2d）+5…①（2分）
∵a₁、a₂、a₅成等比数列，
∴a₁（a₁+4d）=（a₁+d）²…②（4分）
联解①、②并结合公差d≠0，得a₁=1，d=2．
∴a₁=1+2（n-1）=2n-1．…（6分）
（Ⅱ）由a₁=2n-1，可得S_n=

n(1+2n-1)

2

=n²．
所以当n≥2，（n∈N^*）时，

1

Sn-1

=

1

n2-1

．
∵

1

n2-1

=

1

2

（

1

n-1

-

1

n+1

）．…（9分）
∴

1

S2-1

=

1

2

（1-

1

3

），

1

S3-1

=

1

2

（

1

2

-

1

4

），

1

S4-1

=

1

2

（

1

3

-

1

5

），

1

S4-1

=

1

2

（

1

4

-

1

6

），…

1

Sn-1-1

=

1

2

（

1

n-2

-

1

n

），

1

Sn-1

=

1

2

（

1

n-1

-

1

n+1

）
∴

1

S2-1

+

1

S3-1

+

1

S4-1

+…+

1

Sn-1-1

+

1

Sn-1

=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

2

-

1

4

）+（

1

3

-

1

5

）+（

1

4

-

1

6

）+…+（

1

n-2

-

1

n

）+（

1

n-1

-

1

n+1

）]
=

1

2

（1+

1

2

-

1

n

-

1

n+1

）=

3

4

-

2n+1

2n(n+1)

∴

n

i=2

1

Sn-1

=

3

4

-

2n+1

2n(n+1)

．…（12分）

点评：本题给出等差数列满足的关系式，求数列的通项公式并求

1

Sn-1

的前n项和．着重考查了等差数列的通项公式、前n项和公式和裂项求和方法等知识，属于中档题．