Question

已知函数f(x)=

1

3

x3-mx2-x+

1

3

m，其中m∈R．
（1）求函数y=f（x）的单调区间；
（2）若对任意的x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f′（x₁）-f′（x₂）|≤4，求实数m的取值范围；
（3）求函数f（x）的零点个数．

Answer 1

（1）f?（x）=x²-2mx-1，
由f?（x）≥0，得x≤m-

m2+1

，或x≥m+

m2+1

；
故函数f（x）的单调增区间为（-∞，m-

m2+1

），（m+

m2+1

，+∞），减区间（m-

m2+1

，m+

m2+1

）．
（2）“对任意的x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f′（x₁）-f′（x₂）|≤4”等价于“函数y=f?（x），x∈[-1，1]的最大值与最小值的差小于等于4”．
对于f?（x）=x²-2mx-1，对称轴x=m．
①当m＜-1时，f?（x）的最大值为f?（1），最小值为f?（-1），由 f?（1）-f?（-1）≤4，即-4m≤4，解得m≥-1，舍去；                                  
②当-1≤m≤1时，f?（x）的最大值为f?（1）或f?（-1），最小值为f?（m），由 

f?(1)-f?(m)≤4 f?(-1)-f?(m)≤4

，即

m2-2m-3≤0 m2+2m-3≤0

，解得-1≤m≤1；     
③当m＞1时，f?（x）的最大值为f?（-1），最小值为f?（1），由 f?（-1）-f?（1）≤4，即4m≤4，解得m≤1，舍去；
综上，实数m的取值范围是[-1，1]．
（3）由f?（x）=0，得x²-2mx-1=0，
因为△=4m²+4＞0，所以y=f（x）既有极大值也有极小值．
设f?（x₀）=0，即x₀²-2mx₀-1=0，
则f （x₀）=

1

3

x₀³-mx₀²-x₀+

1

3

m=-

1

3

mx₀²-

2

3

x₀+

1

3

m=-

2

3

x₀（m²+1），
由（1）知：极大值f（m-

m2+1

）=-

2

3

（m-

m2+1

）（m²+1）＞0，
极小值f（m+

m2+1

）=-

2

3

（m+

m2+1

）（m²+1）＜0，
故函数f（x）有三个零点．