Question

过抛物线y²=2px（p＞0）焦点F的直线l与抛物线交于A、B两点，且|AF|=3|BF|，那么直线l的斜率为（　　）

A．± 2

B．±1

C．± 3 3

D．± 3

Answer 1

设抛物线y²=2px（p＞0）的准线为l′：x=-

p

2

．
如图所示，
①当直线AB的倾斜角为锐角时，
分别过点A，B作AM⊥l′，BN⊥l′，垂足为M，N．
过点B作BC⊥AM交于点C．
则|AM|=|AF|，|BN|=|BF|．
∵|AF|=3|BF|=

3

4

|AB|，
∴|AM|-|BN|=|AC|=|AF|-|BF|=

1

2

|AB|，
在Rt△ABC中，由|AC|=

1

2

|AB|，可得∠BAC=60°．
∵AM∥x轴，∴∠BAC=∠AFx=60°．
∴kAB=tan60°=

3

．
②当直线AB的倾斜角为钝角时，可得kAB=-

3

．
综上可知：直线l的斜率为±

3

．
故选：D．