Question

若点A（-6，0），点B（6，12），且

AP

=

1

3

AB

，则过点P且在两坐标轴上有相等截距的直线方程是

x+y=2或y=-2x

．

Answer 1

分析：设点P的坐标为（m，n ），由

AP

=

1

3

AB

，可得m=-2，n=4，故 点P的坐标为（-2，4 ），当所求的直线过原点时，求出方程；当所求的直线不过原点时，设方程为 x+y=a，把点P的坐标（-2，4 ） 代入可得a 的值，从而求出直线方程．

解答：解：设点P的坐标为（m，n ），∵点A（-6，0），点B（6，12），且

AP

=

1

3

AB

，
则（m+6，n）=

1

3

（12，12），∴m+6=4，n=4，即m=-2，n=4，∴点P的坐标为（-2，4 ）．
当所求的直线过原点时，方程为 y=-2x．
当所求的直线不过原点时，设方程为 x+y=a，把点P的坐标（-2，4 ） 代入可得a=2，故方程为 x+y=2．
综上，过点P且在两坐标轴上有相等截距的直线方程是x+y=2或y=-2x．
故答案为 x+y=2或y=-2x．

点评：本题主要考查两个向量坐标形式的运算，直线的截距式方程，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．