Question

（本小题满分14分）

已知点，点是⊙：上任意两个不同的点，且满足，设为弦的中点．

（1）求点的轨迹的方程；

（2）试探究在轨迹上是否存在这样的点：

它到直线的距离恰好等于到点的距离？

若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）法一：连结，由，知⊥

∴||＝||＝||＝，由垂径定理知

即，………………………………………4分

设点，则有，

化简，得到；………………………………8分

法二：设，，，

根据题意，知，，

∴

故 ……① ………4分

又，有，即，

∴，代入①式，得到，

化简，得到； …………………………………………………………………………8分

（2）根据抛物线的定义，到直线的距离等于到点的距离的点都在抛物线

上，其中，∴，故抛物线方程为，………………………………10分

由方程组得，解得，  …………………………12分

由于，故，此时，

故满足条件的点存在，其坐标为和． ………………………………………………14分