Question

已知9^x-12•3^x+27≤0，求y=（log₂

x

2

）•（log

1

2

2

2x

）最值及对应的x值．

Answer 1

分析：由指数不等式9^x-12•3^x+27≤0，解出1≤x≤2，再设t=log₂x，我们易确定出t=log₂x的最大值和最小值，进而得到t取值范围；由已知中y=（log₂

x

2

）•（log

1

2

2

2x

），根据t的范围，我们可以使用换元法，将问题转化为一个二次函数在定区间上的最值问题，根据二次函数的性质易得答案．

解答：解：∵9^x-12•3^x+27≤0，∴（3^x-3）•（3^x-9）≤0，即3≤3^x≤9，得1≤x≤2，
∴y=（log₂x-1）（log 

1

2

2

1

2

+log 

1

2

2x）=（log₂x-1）（log₂x+

1

2

）
∴令t=log₂x，则0≤t≤1，
y=t2-

1

2

t-

1

2

= (t-

1

4

)2-

9

16

，
∴当t=1，即x=2时，y取得最大值0；
当t=

1

4

，即x=

4	2

时，y取得最小值-

9

16

．

点评：本题考查的知识点是对数函数的图象与性质的综合应用，二次函数在定区间上的最值问题，熟练掌握对数函数的性质和二次函数的性质是解答本题的关键．