Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设，数列{c_n}的前n项和为T_n，求使不等式T_n对一切n∈N^*都成立的最大正整数k的值；
（Ⅲ）设f（n）=是否存在m∈N^*，使得f（m+15）=5f（m）成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用当n=1时，a₁=S₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1即可得出；
（II）利用“裂项求和”即可得出T_n，再利用其单调性即可得出k的最大值；
（III）利用（I）求出f（n），再对m分为奇数和偶数讨论即可得出．
解答：解：（I）当n=1时，=6．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-=n+5．
此式对于n=1时也成立．
因此．
（II）∵==，
∴T_n===．
∵T_n+1-T_n==，∴数列{}单调递增，
∴（T_n）_min=T₁=．令，解得k＜671，∴k_max=670．
（III）f（n）==，
（1）当m为奇数时，m+15为偶数，∴3m+47=5m+25，解得m=11．
（2）当m为偶数时，m+15为奇数，∴m+20=15m+10，解得（舍去）．
综上可知：存在唯一的正整数m=11，使得f（m+15）=5f（m）成立．
点评：熟练掌握“利用当n=1时，a₁=S₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1即可得出a_n”、“裂项求和”、数列的单调性、分类讨论的思想方法等是解题的关键．