Question

如下图，在△OAB中，|OA|=|OB|=4，点P分线段AB所成的比为3：1，以OA、OB所在直线为渐近线的双曲线M恰好经过点P，且离心率为2．
（1）求双曲线M的标准方程；
（2）若直线y=kx+m（k≠0，m≠0）与双曲线M交于不同的两点E、F，且E、F两点都在以Q（0，-3）为圆心的同一圆上，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据曲线M的离心率为2，可设双曲线M的方程为，从而可得∠BOx=60°，可求得B（2，2），A（2，），根据点P分线段AB所成的比为3：1得P（2，），代入双曲线方程，即可求出双曲线M的方程；
（2）将执行方程与双曲线方程联立，消去y得（k²-3）x²+2kmx+m²+9=0
根据直线y=kx+m（k≠0，m≠0）与双曲线M交于不同的两点，可得，从而有 
利用E、F两点都在以Q（0，-3）为圆心的同一圆上，所以NQ⊥EF，从而
由此得，从而求出实数m的取值范围．
解答：解：（1）因为曲线M的离心率为2，所以可设双曲线M的方程为
由此可得渐近线的斜率k=
∴∠BOx=60°，
从而B（2，2），A（2，）
又因为点P分线段AB所成的比为3：1
故P（2，），代入双曲线方程得a²=3，
故双曲线M的方程为：
（2）如图所示，由⇒（k²-3）x²+2kmx+m²+9=0
设E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂），线段EF的中点为N（x，y），则有
⇒ ①
由韦达定理得
因为E、F两点都在以Q（0，-3）为圆心的同一圆上，所以NQ⊥EF，
即
∴3k²=4m+9    ②
由①②得
∴m＞4或
点评：本题以双曲线的几何性质为载体，考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，综合性强，有难度．