Question

已知函数f（x）=sin(x-

π

6

)+cos(x-

π

3

)，g(x)=2sin2x
（Ⅰ）若α是第一象限角，且f（α）=

3 3

5

，求g（α）的值；
（Ⅱ）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．

Answer 1

分析：（1）利用两角和差的三角公式化简函数f（x）的解析式，可得f（α）的解析式，再根据f（α）=

3 3

5

，求得cosα的值，从而求得g（α）=2sin²α=1-cosα的值．
（2）由不等式可得 sin（x+

π

6

）≥

1

2

，解不等式 2kπ+

π

6

≤x+

π

6

≤2kπ+

5π

6

，k∈z，求得x的取值集合．

解答：解：（1）∵f（x）=

3

2

sinx-

1

2

cosx+

1

2

cosx+

3

2

sinx=

3

sinx，
所以f（α）=

3

sinα=

3 3

5

，所以sinα=

3

5

．
又α∈（0，

π

2

），所以cosα=

4

5

，
所以g（α）=2sin²α=1-cosα=

1

5

．
（2）由f（x）≥g（x）得

3

sinx≥1-cosx，
所以

3

2

sinx+

1

2

cosx=sin（x+

π

6

）≥

1

2

．
解2kπ+

π

6

≤x+

π

6

≤2kπ+

5π

6

，k∈z，求得2kπ≤x≤2kπ+

2π

3

，k∈z，
所以x的取值范围为〔2kπ，2kπ+

2π

3

〕k∈z．

点评：本题主要考查两角和差的三角公式、二倍角公式的应用，解三角不等式，正弦函数的图象及性质，属于中档题．