Question

（2012•广东模拟）如图，P是抛物线C：y=

1

2

x2上横坐标大于零的一点，直线l过点P并与抛物线C在点P处的切线垂直，直线l与抛物线C相交于另一点Q．
（1）当点P的横坐标为2时，求直线l的方程；
（2）若

OP

•

OQ

=0，求过点P，Q，O的圆的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求点P的坐标，利用导数求过点P的切线的斜率，从而可得直线l的斜率，即可求出直线l的方程；
（Ⅱ）设P（x₀，y₀），求出直线l的方程为 y-

1

2

x

2 0

=-

1

x0

(x-x0)，利用

OP

•

OQ

=0，可得过点P，Q，O的圆的圆心为PQ的中点，将直线与抛物线联立，即可求出PQ的中点的坐标与圆的半径，从而可得过点P，Q，O的圆的方程．

解答：解：（Ⅰ）把x=2代入y=

1

2

x2，得y=2，∴点P的坐标为（2，2）．…（1分）
由 y=

1

2

x2，①得y'=x，
∴过点P的切线的斜率k_切=2，…（2分）
直线l的斜率k₁=-

1

k切

=-

1

2

，…（3分）
∴直线l的方程为y-2=-

1

2

(x-2)，即x+2y-6=0…（4分）
（Ⅱ）设P（x₀，y₀），则y0=

1

2

x

2 0

．
∵过点P的切线斜率k_切=x₀，因为x₀≠0．
∴直线l的斜率k₁=-

1

k切

=-

1

x0

，
直线l的方程为 y-

1

2

x

2 0

=-

1

x0

(x-x0)．②…（5分）
设Q（x₁，y₁），且M（x，y）为PQ的中点，
因为

OP

•

OQ

=0，所以过点P，Q，O的圆的圆心为M（x，y），半径为r=|PM|，…（6分）
且x0x1+y0y1=x0x1+

1

4

x02x12=0，…（8分）
所以x₀x₁=0（舍去）或x₀x₁=-4…（9分）
联立①②消去y，得x2+

2

x0

x-xo2-2=0
由题意知x₀，x₁为方程的两根，
所以x0x1=-x02-2=-4，又因为x₀＞0，所以x0=

2

，y₀=1；
所以x1=-2

2

，y₁=4…（11分）
∵M是PQ的中点，∴

x=- 2 2 y= 5 2 .

…（12分）
∴r2=(x-x0)2+(y-y0)2=

27

4

…（13分）
所以过点P，Q，O的圆的方程为(x+

2

2

)2+(y-

5

2

)2=

27

4

…（14分）

点评：本题考查利用导数研究抛物线切线的方程，考查向量知识，考查圆的方程，解题的关键是直线与抛物线联立，确定圆的圆心的坐标与半径．