Question

已知函数f(x)＝x³＋mx²＋nx－2的图象过点(－1，－6)，且函数的图象关于y轴对称．

(Ⅰ)求m、n的值及函数y＝f(x)的单调区间；

(Ⅱ)若a＞0，求函数y＝f(x)在区间(a－1，a＋1)内的极值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由函数f(x)图象过点(－1，－6)，得m－n＝－3，　　① 　　由f(x)＝x3＋mx2＋nx－2，得f′(x)＝3x2＋2mx＋n， 　　则g(x)＝f′(x)＋6x＝3x2＋(2m＋6)x＋n； 　　而g(x)图象关于y轴对称，所以－＝0，所以m＝－3， 　　代入①得n＝0． 　　于是f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)． 　　由f′(x)＞得x＞2或x＜0， 　　故f(x)的单调递增区间是(－∞，0)，(2，＋∞)； 　　由f′(x)＜0得0＜x＜2， 　　故f(x)的单调递减区间是(0，2)． 　　(Ⅱ)由(Ⅰ)得f′(x)＝3x(x－2)， 　　令f′(x)＝0得x＝0或x＝2． 　　当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表： 　　由此可得： 　　当0＜a＜1时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极大值f(O)＝－2，无极小值； 　　当a＝1时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值； 　　当1＜a＜3时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极小值f(2)＝－6，无极大值； 　　当a≥3时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值． 　　综上得：当0＜a＜1时，f(x)有极大值－2，无极小值，当1＜a＜3时，f(x)有极小值－6，无极大值；当a＝1或a≥3时，f(x)无极值．