Question

（2013•怀化三模）如图1中矩形ABCD中，已知AB=2，AD=2

2

，MN分别为AD和BC的中点，对角线BD与MN交于O点，沿MN把矩形ABNM折起，使平面ABNM与平面MNCD所成角为60°，如图2
（1）求证：BO⊥DO；
（2）求AO与平面BOD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：方法一：（1）先判断∠AMD 是平面ABNM与平面MNCD的平面角，进一步证明△BOD是直角三角形，即可知BO⊥DO；
（2）设E，F是BD，CD的中点，则EF⊥CD，OF⊥CD，所以CD⊥面OEF，OE⊥CD，过A作AH⊥BD，由面面垂直的性质定理，可得AH⊥平面BOD，连接OH，则可证∠AOH为AO与平面BOD所成角；
方法二：（1）建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，证明

BO

•

DO

=0，即可；
（2）求出平面BOD的法向量是

n

=(x，y，z)，

AO

=（-

6

2

，-

2

2

，-1），再利用向量夹角公式即可求得结论．

解答：方法一：（1）证明：由题设，M，N是矩形的边AD和BC的中点，所以AM⊥MN，BC⊥MN，
∵折叠垂直关系不变，∴∠AMD 是平面ABNM与平面MNCD的平面角，依题意，所以∠AMD=60°，…（2分）
由AM=DM，可知△MAD是正三角形，所以AD=

2

，
在矩形ABCD中，AB=2，AD=2

2

，所以，BD=

6

，由题可知BO=OD=

3

，
由勾股定理可知△BOD是直角三角形，所以BO⊥DO     …（5分）
（2）解：如图1（2）设E，F是BD，CD的中点，则EF⊥CD，OF⊥CD，所以CD⊥面OEF，OE⊥CD
又BO=OD，所以OE⊥BD，OE⊥面ABCD，OE?面BOD，平面BOD⊥平面ABCD
过A作AH⊥BD，由面面垂直的性质定理，可得AH⊥平面BOD，连接OH，…（8分）
所以OH是AO在平面BOD的投影，
所以∠AOH为所求的角，即AO与平面BOD所成角．…（11分）
AH是RT△ABD斜边上的高，所以AH=

2 3

3

，BO=OD=

3

，
所以sin∠AOH=

2

3

（14分）
方法二：空间向量：取MD，NC中点P，Q，如图2建系，则Q（0，0，0），B（

6

2

，0，0），D（0，

2

2

，2），O（0，-

2

2

，1），
所以

BO

=（-

6

2

，-

2

2

，1），

DO

=（0，-

2

，-1）
所以

BO

•

DO

=0，即BO⊥DO（5分）
（2）设平面BOD的法向量是

n

=(x，y，z)，
可得-

6

2

x-

2

2

y+z=0-

2

y-z=0，令y=

2

可得x=-

6

，z=-2
所以A

n

=(-

6

，

2

，-2)
又

AO

=（-

6

2

，-

2

2

，-1），
设AO与平面BOD所成角为θ
则sinθ=|cos＜

AO

，

n＞

|=

2

3

（14分）

点评：本题以平面图形的翻折为载体，考查线线垂直，考查线面角，既用传统方法，又用向量方法，两法并举，细细体会．