Question

设矩阵M对应的变换是把坐标平面上的点的横坐标伸长3倍，再将纵坐标伸长2倍的两个伸压变换的复合，求其逆矩阵M^-1以及
圆x²+y²=1在M^-1的作用下的新曲线的方程．

Answer 1

【答案】分析：根据已知条件，欲求出矩阵M^-1，可由已知直接写出M^-1．设椭圆上任意一点（x，y），变换后的坐标（x′，y′），根据逆变换公式，知道之间的关系，代入，即可求出新曲线方程．
解答：解：∵矩阵M对应的变换是把坐标平面上的点的横坐标伸长3倍，再将纵坐标伸长2倍的两个伸压变换的复合，
∴逆矩阵M^-1是把坐标平面上的点的纵坐标缩短到 倍，横坐标缩短到 倍的伸压变换，
∴．（5分）
任意选取椭圆 x²+y²=1上的一点P（x，y），它在矩阵
对应的变换下变为P'（x′，y′），则有=，故 ．
又因为点P在椭圆  x²+y²=1上，所以4x^'2+9y^'2=1．
椭圆  x²+y²=1在M^-1的作用下的新曲线的方程为4x²+9y²=1．
点评：本题主要考查逆矩阵、逆变换及其计算能力，属于综合性的问题，计算比较简单．