Question

71、（2010•河南鹤壁市第二次质检）化简C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ=

n•2^n-1

．

Answer 1

分析：利用组合数阶乘形式的公式得到kC_n^k=nC_n-1^k-1；将式子中的各部分提出公因式n，再利用二项式系数的和为2^n-1，求出值．

解答：解：∵kC_n^k=nC_n-1^k-1，
∴原式=nC_n-1⁰+nC_n-1¹+nC_n-1²+nC_n-1³+…+nC_n-1^n-1=n（C_n-1⁰+C_n-1¹+C_n-1²+C_n-1³++C_n-1^n-1）=n•2^n-1．
故答案为：n•2^n-1

点评：本题考查组合数的公式性质：kC_kⁿ=nC_k-1^n-1；考查二项式系数和公式．