题目内容

设f（x）=
axx+a
（a≠0），令a1=1，an+1=f（an），又令bn=anan+1，n∈N*．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{bn}的前n项的和．
分析：（1）根据题设条件，先求出a1，a2，a3，a4，然后观察它们的规律，猜想出an，再用数学归纳法进行证明．
（2）由bn=anan+1=
a
a+n-1
•
a
a+n
=a2(
1
a+n-1
-
1
a+n
)，可用裂项法进行求和．
解答：解：（1）a1=1，a2=f(1)=
a
1+a
，a3=f(
a
a+1
) =
a×
a
a+1
a
a+1
+a
=
a
a+2
，a4=f(
a
a+2
) =
a×
a
a+2
a
a+2
+a
=
a
a+3
，由此猜想an=
a
a+n-1
．下面用数学归纳法证明这个猜想．
①当n=1时，a1=
a
a+1-1
=1，等式成立．
②假设当n=k时，等式成立．即ak=
a
a+k-1
．
当n=k+1时，ak+1=f(ak) =
a×
a
a+k-1
a
a+k-1
+a
=
a
a+k
，等式成立．由①②知an=
a
a+n-1
．
（2）∵bn=anan+1=
a
a+n-1
•
a
a+n
=a2(
1
a+n-1
-
1
a+n
)，
数列{bn}的前n项的和=b1+b2+…+bn=a2(
1
a
-
1
a+1
) +a2(
1
a+1
-
1
a+2
) +…+a2(
1
a+n-1
-
1
a+n
)
=a2(
1
a
-
1
a+n
)．
点评：本题考查数列通项公式的求法和数列求和，解题时要注意数学归纳法和裂项求和法的应用．
练习册系列答案
相关题目
设f（x）=log
1
2
(
1-ax
x-1
)为奇函数，a为常数，
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）证明：f（x）在（1，+∞）内单调递增；
（Ⅲ）若对于[3，4]上的每一个x的值，不等式f（x）＞(
1
2
)x+m恒成立，求实数m的取值范围．
设f（x）=
ax
x+a
（a≠0），令a1=1，an+1=f（an），又bn=an•an+1，n∈N*
（1）判断数列{
1
an
}是等差数列还是等比数列并证明；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）求数列{bn}的前n项和．
（2012•徐汇区一模）设函数y=f（x）与函数y=f（f（x））的定义域交集为D．若对任意的x∈D，都有f（f（x））=x，则称函数f（x）是集合M的元素．
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（3）若f（X）=
axx+b
∈M（a，b为常数且a＞0），求使f（x）＜1成立的x的取值范围．
设f（x）=
ax
x+a
（a≠0），令a1=1，an+1=f（an），又bn=an•an+1，n∈N*
（1）判断数列{
1
an
}是等差数列还是等比数列并证明；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）求数列{bn}的前n项和．

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