Question

设m、n，是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列四个命题，
①若m⊥n，m⊥α，n?α，则n∥α；　　 ②若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n⊥α或n⊥β；
③若m⊥β，α⊥β，则m∥α；　　　　　 ④若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β．
其中正确命题的序号是________（把所有正确命题的序号都写上）．

Answer 1

①④
分析：根据同垂直于一条直线的直线和平面的位置关系，得到①正确；根据直线与平面垂直的定义与性质，得到②不正确；根据同垂直于一个平面的直线和平面的位置关系，得到③不正确；根据线面垂直和面面垂直的判定与性质，得到④正确．由此得到正确答案．
解答：对于①，若m⊥n，m⊥α，即n、α同时与直线m垂直，
可得n?α或n∥α，但是已知条件中有n?α，所以n∥α成立，故①正确；
对于②，若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，n可在与直线m垂直的平面γ内转动，
必定存在直线m的位置，使它平面α、β都不垂直，故“n⊥α或n⊥β”不成立，故②错误；
对于③，若m⊥β，α⊥β，即m、α同时与平面β垂直，则m∥α或m?α，不一定有m∥α，故③错误；
对于④，若m⊥α，则直线m是平面α的法线，同理n⊥β，直线n是平面β的法线，
而m⊥n，说明平面α的法线与β的法线互相垂直，因此“α⊥β”成立，故④正确．
故答案为①④
点评：本题以命题真假的判断为载体，着重考查了空间直线与平面的位置关系和平面与平面的位置关系等知识点，属于中档题．