Question

已知：函数f（x）=a•lnx+bx²+x在点（1，f（1））处的切线方程为x-y-1=0．
（1）求f（x）的表达式；
（2）设函数y=

1

2

f（x）+

x(x-1)

2

的反函数为p（x），t（x）=p（x）（1-x），求函数t（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）当x=1时，y=0，代入f（x）=a•lnx+bx²+x，得b=-1．故f′(x)=

a

x

-2x+1，由切线方程知f′（1）=1，a=2，由此能求出f（x）的表达式．
（2）由f（x）=2lnx-x²+x，知y=

1

2

f(x)+

x(x-1)

2

=lnx，故p（x）=e^x．由t（x）=e^x（1-x），x∈R，知t′（x）=e^x•（1-x）-e^x=-xe^x，由此能求出t（x）的最大值．

解答：解：（1）当x=1时，y=0，
代入f（x）=a•lnx+bx²+x，得b=-1．
∴f（x）=a•lnx-x²+x，
f′(x)=

a

x

-2x+1，
由切线方程知f′（1）=1，
∴a=2，
故f（x）=2lnx-x²+x．
（2）∵f（x）=2lnx-x²+x，
∴y=

1

2

f(x)+

x(x-1)

2

=lnx，
∴p（x）=e^x．
∵t（x）=e^x（1-x），x∈R，
∴t′（x）=e^x•（1-x）-e^x=-xe^x，
∴当x∈（-∞，0）时，t′（x）＞0，
当x∈（0，+∞）时，t′（x）＜0，
∴t（x）的最大值为t（0）=1．

点评：本题考查函数表达式的求法和函数最大值的求解，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意导当数的灵活运用．