Question

（1）已知直线m平行于直线l：x+y=0，且m与l的距离是

2

，求直线m的方程；
（2）求经过两点A（1，4）、B（3，2），且圆心在直线y=0上的圆的标准方程．

Answer 1

分析：（1）设出直线m的一般式方程，根据两平行线的距离公式表示出直线l与直线m的距离，让距离等于

2

列出关于λ的方程，求出方程的解即可得到λ的值，进而得到直线m的方程；
（2）根据垂径定理可知AB的垂直平分线过圆心，所以利用A和B的坐标表示出过A和B的直线的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为-1，求出AB垂直平分线的斜率，然后根据中点坐标公式求出AB的中点坐标，根据中点坐标和求出的斜率写出AB的垂直平分线的方程，与y=0联立即可求出圆心的坐标，然后利用两点间的距离公式求出圆心到点A的距离即为圆的半径，根据圆心和半径写出圆的标准方程即可．

解答：解：（1）设直线m：x+y+λ=0，
由直线m平行于直线l，且m与l的距离是

2

，
则

|λ|

1+1

=

2

，解得：λ=±2，
所以直线m：x+y+2=0或x+y-2=0；
（2）设线段AB的坐标为C，则C的坐标为（

1+3

2

，

4+2

2

）即（2，3），
过A与B的直线方程的斜率为

4-2

1-3

=-1，所以AB的垂直平分线的斜率为1，
则AB的垂直平分线的方程为：y-3=x-2即x-y-1=0，
又圆心在y=0上，所以联立得：

y=0 x-y-1=0

，得到圆心坐标为（-1，0），
而圆的半径r=

(1+1)2+(4-0)2

=2

5

，
故圆的方程为：（x+1）²+y²=20．

点评：此题考查学生掌握两平行线间的距离公式以及两直线垂直时斜率的关系，灵活运用中点坐标公式及两点间的距离公式化简求值，是一道综合题．