Question

22.

    设A、B是椭圆上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.

   （Ⅰ）确定的取值范围，并求直线AB的方程；

（Ⅱ）试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由.

Answer 1

22.本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力.

（I）解法1：依题意，可设直线AB的方程为，整理得

   ①

设①的两个不同的根，

   ②

是线段AB的中点，得

解得k=-1，代入②得，>12，即的取值范围是（12，+）.

于是，直线AB的方程为

解法2：设

依题意，

（II）解法1：

代入椭圆方程，整理得

  ③

③的两根，

于是由弦长公式可得

   ④

将直线AB的方程

   ⑤

同理可得

    ⑥

假设存在>12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心.点M到直线AB的距离为

     ⑦

于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得

故当时，A、B、C、D四点均在以M为圆心，为半径的圆上.

（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得）

A、B、C、D共圆△ACD为直角三角形，A为直角

   ⑧

由⑥式知，⑧式左边=

由④和⑦知，⑧式右边=

                  

∴⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆

解法2：由（II）解法1及，

代入椭圆方程，整理得

       ③

将直线AB的方程代入椭圆方程，整理得

　　　⑤

解③和⑤式可得

 

不妨设

）.

∴

。

计算可得，∴A在以CD为直径的圆上.

又B为A关于CD的对称点，∴A、B、C、D四点共圆.

（注：也可用勾股定理证明AC⊥AD）.