Question

(本小题满分14分)
设是定义在上的函数，用分点

将区间任意划分成个小区间，如果存在一个常数，使得和式（）恒成立，则称为上的有界变差函数.
（1）函数在上是否为有界变差函数？请说明理由；
（2）设函数是上的单调递减函数，证明：为上的有界变差函数；
（3）若定义在上的函数满足：存在常数，使得对于任意的、 时，.证明：为上的有界变差函数.

Answer 1

解：（1）函数在上是增函数， 对任意划分，
 ，
取常数，则和式（）恒成立，
所以函数在上是有界变差函数.          …………4分
（2）函数是上的单调递减函数，
且对任意划分，

，
一定存在一个常数，使，
故为上的有界变差函数.                    …………9分
（3）
对任意划分，
，
取常数，
由有界变差函数定义知为上的有界变差函数. …………14分

略