Question

已知函数f（x）=ax²-2x+lnx，
（Ⅰ）若f（x）无极值点，但其导函数f′（x）有零点，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）有两个极值点，求a的取值范围，并证明f（x）的极小值小于。

Answer 1

解：（Ⅰ），
 f′（x）有零点而f（x）无极值点，
表明该零点左右f′（x）同号，故a≠0，且的△=0，
由此可得；
（Ⅱ）由题意，有两不同的正根，
故△＞0，a＞0，解得：；
设的两根为，
因为在区间均有f′（x）＞0，而在区间上，f′（x）＜0，
故x₂是f（x）的极小值点，
∴，
 ∴，
由，
∴
，
构造函数，
，
∴，
∴f（x）的极小值。