Question

已知函数f（x）=sin（x+

π

6

），其中x∈[-

π

3

，a]．当a=

π

2

时，f（x）的值域是

[-

1

2

，1]

；若f（x）的值域是[-

1

2

，1]，则a的取值范围是

[

π

3

，π]

．

Answer 1

分析：当a=

π

2

时，由x∈[-

π

3

，

π

2

]利用正弦函数的定义域和值域可得f（x）的值域．若f（x）的值域是[-

1

2

，1]，则由正弦函数的图象可得

π

2

≤a+

π

6

≤

7π

6

，由此解得a的取值范围．

解答：解：当a=

π

2

时，由x∈[-

π

3

，

π

2

]可得-

π

6

≤x+

π

6

≤

2π

3

，∴-

1

2

≤sin（x+

π

6

）≤1，
∴f（x）的值域是[-

1

2

，1]．
若f（x）的值域是[-

1

2

，1]，则

π

2

≤a+

π

6

≤

7π

6

，解得

π

3

≤a+≤π，即a的取值范围是[

π

3

，π]，
故答案为[-

1

2

，1]、[

π

3

，π]．

点评：本题主要考查正弦函数的定义域和值域，属于基础题．