Question

袋中有大小相同的三个球，编号分别为1、2和3，从袋中每次取出一个球，若取到的球的编号为偶数，则把该球编号加1（如：取到球的编号为2，改为3）后放回袋中继续取球；若取到球的编号为奇数，则取球停止，用X表示所有被取球的编号之和．
（Ⅰ）求X的概率分布；
（Ⅱ）求X的数学期望与方差．

Answer 1

分析：（I）随机变量X所有可能的取值为1，3，5，分别求出随机变量X取每个值的概率，列表写出分布列．
（II）利用数学期望公式和方差的公式进行求解即可．

解答：解：（Ⅰ）在X=1时，表示第一次取到的1号球，取球停止；…（1分）
在X=3时，表示第一次取到2号球，第二次取到1号球，或第一次取到3号球，取球停止；…（4分）
在X=5 时，表示第一次取到2号球，第二次取到3号球，取球停止…（6分）
X的概率分布为P（X=1）=

1

3

，P（X=3）=

1

3

×

1

3

+

1

3

=

4

9

，P（X=5）=

1

3

×

2

3

=

2

9

，

X	1	3	5
P	1 3	4 9	2 9

（Ⅱ）E（X）=1×

1

3

+3×

4

9

+5×

2

9

=

25

9

D（X）=

1

3

×（1-

25

9

）²+

4

9

×（3-

25

9

）²+

2

9

×（5-

25

9

）²=

176

81

点评：本题考查求求离散型随机变量的分布列，求出随机变量X所有可能的取值的概率，是解题的难点，以及数学期望和方差等有关知识．