Question

4．解关于x的不等式：（m-1）x²+2mx+（m-2）＞0（m∈R）

Answer 1

分析 根据题意，讨论二次项系数m-1=0？＞0？还是＜0？，再根据判别式△求出不等式对应方程的实数根，从而求出不等式的解集．

解答 解：（1）m=1时，不等式为2x-1＞0，它的解集为（$\frac{1}{2}$，+∞）；
（2）m＞1时，△=4m²-4（m-1）（m-2）=12m-8＞0，
原不等式对应的方程为（m-1）x²+2mx+（m-2）=0，
解得x₁=$\frac{-m-\sqrt{3m-2}}{m-1}$，x₂=$\frac{-m+\sqrt{3m-2}}{m-1}$，且x₁＜x₂；
∴原不等式的解集为{x|x＜$\frac{-m-\sqrt{3m-2}}{m-1}$，或x＞$\frac{-m+\sqrt{3m-2}}{m-1}$}；
m＜1时，△=12m-8，
①若△≤0，即m≤$\frac{2}{3}$，则不等式的解集为∅；
②若△＞0，即$\frac{2}{3}$＜m＜1，不等式对应的方程两根为
x₁=$\frac{-m-\sqrt{3m-2}}{m-1}$，x₂=$\frac{-m+\sqrt{3m-2}}{m-1}$，且x₁＞x₂，
∴不等式的解集为{x|$\frac{-m+\sqrt{3m-2}}{m-1}$＜x＜$\frac{-m-\sqrt{3m-2}}{m-1}$}；
综上，m=1时，不等式的解集为（$\frac{1}{2}$，+∞）；
m＞1时，不等式的解集为{x|x＜$\frac{-m-\sqrt{3m-2}}{m-1}$，或x＞$\frac{-m+\sqrt{3m-2}}{m-1}$}；
$\frac{2}{3}$＜m＜1时，不等式的解集为{x|$\frac{-m+\sqrt{3m-2}}{m-1}$＜x＜$\frac{-m-\sqrt{3m-2}}{m-1}$}；
m≤$\frac{2}{3}$时，不等式的解集为∅．

点评 本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，解题时应利用分类讨论的思想，是难题．