Question

【题目】(2016·山东)设f(x)＝xlnx－ax2＋(2a－1)x，a∈R.

(1)令g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间；

(2)已知f(x)在x＝1处取得极大值，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）当a≤0时，g(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；当a＞0时，g(x)的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）a＞.

【解析】试题分析：（Ⅰ）求导数

可得，

从而，

讨论当时，当时的两种情况即得.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， .分以下情况讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，综合即得.

试题解析：（Ⅰ）由

可得，

则，

当时， 时， ，函数单调递增；

当时， 时， ，函数单调递增，

时， ，函数单调递减.

所以当时，函数单调递增区间为；

当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， .

①当时， ， 单调递减.

所以当时， ， 单调递减.

当时， ， 单调递增.

所以在x=1处取得极小值，不合题意.

②当时， ，由（Ⅰ）知在内单调递增，

可得当当时， ， 时， ，

所以在（0,1）内单调递减，在内单调递增，

所以在x=1处取得极小值，不合题意.

③当时，即时， 在（0,1）内单调递增，在内单调递减，

所以当时， ， 单调递减，不合题意.

④当时，即，当时， ， 单调递增,

当时， ， 单调递减，

所以f（x）在x=1处取得极大值，合题意.

综上可知，实数a的取值范围为.