题目内容

已知向量
a
=(
3
sin3x ，- y) ， 
b
=(m ， cos3x-m)（m∈R），且
a
+
b
=
0
．设y=f（x）．
（1）求f（x）的表达式，并求函数f（x）在[
π
18
 ， 
2π
9
]上图象最低点M的坐标．
（2）若对任意x∈[0 ， 
π
9
]，f（x）＞t-9x+1恒成立，求实数t的范围．
分析：（1）根据所给的向量之间的关系，写出关于三角函数的关系式，消元得到函数式，整理成可以解决三角函数性质的形式，根据所给的变量的范围得到三角函数的范围．
（2）本题是一个函数的恒成立问题，写出关系式，分离参数，要证一个变量恒小于一个函数式时，要用一种函数思想，即只要这个变量小于函数的最小值即可．
解答：解：（1）∵
a
+
.
b
=
.
0
，即
3
sin3x+m=0
-y+cos3x-m=0
，
消去m，得y=
3
sin3x+cos3x，
即f(x)=
3
sin3x+cos3x=2sin(3x+
π
6
)，
x∈[
π
18
 ， 
2π
9
]时，3x+
π
6
∈[
π
3
 ， 
5π
6
]，sin(3x+
π
6
)∈[
1
2
 ，1]，
即f（x）的最小值为1，此时x=
2π
9

∴函数f（x）的图象上最低点M的坐标是(
2π
9
， 1)
（2）∵f（x）＞t-9x+1，即2sin(3x+
π
6
)+9x＞t+1，
当x∈[0 ， 
π
9
]时，函数f(x)=2sin(3x+
π
6
)单调递增，y=9x单调递增，
∴y=2sin(3x+
π
6
)+9x在[0 ， 
π
9
]上单调递增，
∴y=2sin(3x+
π
6
)+9x的最小值为1，
为要2sin(3x+
π
6
)+9x＞t+1恒成立，只要t+1＜1，
∴t＜0为所求．
点评：本题是一个三角函数同向量结合的问题，是以向量平行的充要条件为条件，得到三角函数的关系式，是一道综合题，在高考时可以以选择和填空形式出现．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(-3，4)，
b
=(1，-1)，则向量
a
在
b
方向上的投影为（　　）
已知向量
a
={cosα，sinα}，
b
={cosβ，sinβ}，那么（　　）
（2012•辽宁）已知向量
a
=（1，-1），
b
=（2，x）．若
a
•
b
=1，则x=（　　）
已知向量
a
=(cos35°，sin35°)，
b
=(cos65°，sin65°)，则向量
a
与
b
的夹角为
30°
30°
．
已知向量
a
=(-1， cosx)，
b
=(
3
2
， sinx)．
（1）当
a
∥
b
时，求2cos2x-sin2x的值；
（2）求f(x)=(
a
+
b
)•
b
在[-
π
2
， 0]上的最大值．

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