Question

把一根长度为7的铁丝截成3段．
（Ⅰ）如果三段的长度均为整数，求能构成三角形的概率；
（Ⅱ）如果截成任意长度的三段，求能构成三角形的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设构成三角形的事件为A，先求出基本事件数有4种，其中能构成三角形的情况有2种情况，从而可求能构成三角形的概率；
（Ⅱ）设把铁丝分成任意的三段，其中一段为x，第二段为y，则第三段为7-x-y，所以

x＞0 y＞0 x+y＜7

，如果要构成三角形，则必须满足：

x＞0 y＞0 x+y＞7-x-y x+7-x-y＞y y+7-x-y＞x

，由此求得能构成三角形的概率．

解答：解：（Ⅰ）所有的“三段铁丝的长度”的情况共有：“1，1，5”、“1，2，4”、“1，3，3”、
“2，2，3”，共计4种．
其中能构成三角形的情况有2种情况：“1，3，3”；“2，2，3”（3分）
则所求的概率是

2

4

=

1

2

．
（Ⅱ）设把铁丝分成任意的三段，其中一段为x，第二段为y，则第三段为7-x-y．
所以

x＞0 y＞0 x+y＜7

，如果要构成三角形，则必须满足：

x＞0 y＞0 x+y＞7-x-y x+7-x-y＞y y+7-x-y＞x

，化简可得

x＞0 y＞0 x+y＞ 7 2 y＜ 7 2 x＜ 7 2

，
∴能构成三角形的概率为

S△MNP

S△OEF

=

1

4

．

点评：本题以实际问题为载体，考查概率知识的运用，解题的关键是分清是古典概型，还是几何概型，从而利用公式求解，属于中档题．