Question

给定椭圆＞b＞0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“伴随圆”．若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到F₁的距离为．
（1）求椭圆C的方程及其“伴随圆”方程；
（2）若倾斜角为45°的直线l与椭圆C只有一个公共点，且与椭圆C的伴随圆相交于M、N两点，求弦MN的长；
（3）点P是椭圆C的伴随圆上的一个动点，过点P作直线l₁，l₂，使得l₁，l₂与椭圆C都只有一个公共点，求证：l₁⊥l₂．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接由椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到F₁的距离为，求出，即可求椭圆C的方程及其“伴随圆”方程；
（2）先把直线方程与椭圆方程联立，利用对应的判别式为0求出，进而求出直线方程以及圆心到直线的距离；即可求弦MN的长；
（3）先对直线l₁，l₂的斜率是否存在分两种情况讨论，然后对每一种情况中的直线l₁，l₂与椭圆C都只有一个公共点进行求解即可证：l₁⊥l₂．（在斜率存在时，是先设直线方程，把直线与椭圆方程联立，利用斜率为对应方程的根来判断结论）．
解答：解：（1）因为，所以b=1（12分）
所以椭圆的方程为，
伴随圆的方程为x²+y²=4．（4分）
（2）设直线l的方程y=x+b，由得4x²+6bx+3b²-3=0
由△=（6b）²-16（3b²-3）=0得b²=4（6分）
圆心到直线l的距离为
所以（8分）
（3）①当l₁，l₂中有一条无斜率时，不妨设l₁无斜率，
因为l₁与椭圆只有一个公共点，则其方程为或，
当l₁方程为时，此时l₁与伴随圆交于点，
此时经过点（或且与椭圆只有一个公共点的直线是y=1（或y=-1），
即l₂为y=1（或y=-1），显然直线l₁，l₂垂直；
同理可证l₁方程为时，直线l₁，l₂垂直．（10分）
②当l₁，l₂都有斜率时，设点P（x，y），其中x²+y²=4，
设经过点P（x，y），与椭圆只有一个公共点的直线为y=k（x-x）+y，
由，消去y得到x²+3（kx+（y-kx））²-3=0，
即（1+3k²）x²+6k（y-kx）x+3（y-kx）²-3=0，（12分）
△=[6k（y-kx）]²-4•（1+3k²）[3（y-kx）²-3]=0，
经过化简得到：（3-x²）k²+2xyk+1-y²=0，
因为x²+y²=4，所以有（3-x²）k²+2xyk+（x²-3）=0，（14分）
设l₁，l₂的斜率分别为k₁，k₂，因为l₁，l₂与椭圆都只有一个公共点，
所以k₁，k₂满足方程（3-x²）k²+2xyk+（x²-3）=0，
因而k₁•k₂=-1，即l₁，l₂垂直．（16分）
点评：本题主要考查椭圆的方程和几何性质，直线的方程，两点间的距离公式以及点到直线的距离公式等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的数学思想，考查解决问题的能力和运算能力．