Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=［2+(-1)ⁿ］·n(n∈N^*).

(1)求数列{a_n}的通项公式;

(2)若b_n=(a_n-t)(-1)ⁿ(t为常数),且数列{b_n}是等差数列,求常数t的值.

Answer 1

解:(1)由{a_n}的前n项和S_n=［2+(-1)ⁿ］·n可知当n=1时,a₁=S₁=1,

当n≥2时,a_n=S_n-S_n-1=［2n+(-1)ⁿn］-［2(n-1)+(-1)ⁿ(n-1)］

=2+(-1)ⁿ·n+(-1)ⁿ(n-1)

=2+(-1)ⁿ(2n-1),

而a₁=1满足a_n=2+(-1)ⁿ(2n-1)(n∈N^*),

故所求数列{a_n}的通项公式为a_n=2+(-1)ⁿ(2n-1).

(2)∵b_n=(a_n-t)(-1)ⁿ

=［2-t+(-1)ⁿ(2n-1)］(-1)ⁿ

=(2-t)(-1)ⁿ+(2n-1),

∴b_n+1=(2-t)(-1)ⁿ⁺¹+2n+1.

∴b_n+1-b_n=(2t-4)(-1)ⁿ+2.

又{b_n}是等差数列,

∴2t-4=0,从而t=2.

故所求常数t的值为2.